Ответ:

  1. Он говорил тихо и убедительно. Грамматическая основа: он говорил. Наречия тихо и убедительно — обстоятельства образа действия.
  2. Сегодня на улице пасмурно. Грамматическая основа: пасмурно (главный член безличного предложения). Сегодня — обстоятельство времени.
  3. Здесь всегда прохладно. Грамматическая основа: прохладно (главный член безличного предложения). Здесь — обстоятельство места; всегда — обстоятельство времени.
  4. Она сделала всё нарочно. Грамматическая основа: она сделала. Нарочно — обстоятельство цели.
  5. Вдали виднелись огни. Грамматическая основа: огни виднелись. Вдали — обстоятельство места.
  6. Мне было очень грустно. Грамматическая основа: было грустно (главный член безличного предложения). Очень — обстоятельство меры и степени.
  7. Он пришёл поздно. Грамматическая основа: он пришёл. Поздно — обстоятельство времени.

В обычной письменной работе грамматические основы подчёркивают; здесь они выделены курсивом.