ЗАДАНИЕ №2. Найдите длину медианы $BM$ треугольника $ABC$, если известно, что $AB=9$, $BC=14$, $\angle ABM=71^\circ$ и $\angle CBM=38^\circ$.

Question

Вопрос: $Фото задания: ЗАДАНИЕ №2. Найдите длину медианы $BM$ треугольника $ABC$, если известно, что $AB=9$, $BC=14$, \(\angle…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $BM$ — медиана, $M$ — середина $AC$, следовательно, $AM=MC$.

Угол при вершине $B$: $\angle ABC=71^\circ+38^\circ=109^\circ$.

По теореме Стюарта для cevian $BM$, где $AM=MC$:

$AB^2\cdot MC+BC^2\cdot AM=AC(BM^2+AM\cdot MC)$.

Обозначим $AM=MC=x$, тогда $AC=2x$. Подставим известные стороны:

$9^2x+14^2x=2x(BM^2+x^2)$.

Делим на $2x$: $BM^2+x^2=\frac{277}{2}$.

По теореме косинусов в треугольнике $ABC$:

$AC^2=9^2+14^2-2\cdot9\cdot14\cos109^\circ$, поэтому $4x^2=277-252\cos109^\circ$.

Следовательно, $BM^2=\frac{277}{2}-\frac{277-252\cos109^\circ}{4}=\frac{277+252\cos109^\circ}{4}$.

Так как $BM>0$, $BM=\frac12\sqrt{277+252\cos109^\circ}\approx 7.44$.

Ответ: $BM\approx7.44$.

ЗАДАНИЕ №2. Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB=9\), \(BC=14\), \(\angle ABM=71^\circ\) и \(\angle CBM=38^\circ\).