Задание №2. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если: 1) AB = 12 см, ∠A = 74°, ∠C = 39°; 2) AB = 8 см, BC = 5 см, ∠B = 100°.

1) Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠B = 180° − 74° − 39° = 67°.

По теореме синусов: AC / sin 67° = BC / sin 74° = AB / sin 39°.

AC = 12 sin 67° / sin 39° ≈ 17,69 см.

BC = 12 sin 74° / sin 39° ≈ 18,60 см.

Ответ: ∠B = 67°, AC ≈ 17,69 см, BC ≈ 18,60 см.

2) Такого треугольника не существует: сторона AB = 8 см лежит напротив угла C, а сторона BC = 5 см — напротив угла A. По теореме синусов sin C / sin A = AB / BC = 8/5. Но при ∠B = 100° сумма ∠A + ∠C = 80°, и для положительных углов с такой суммой отношение синусов не может быть больше sin 80° / sin 10° ≈ 5,67, поэтому проверим ещё более существенно: возможны значения отношения от sin 10° / sin 70° ≈ 0,185 до sin 70° / sin 10° ≈ 5,67. Отношение 8/5 этому условию не противоречит; найдём углы из sin C = 1,6 sin A и A + C = 80°.

Подстановка C = 80° − A даёт sin(80° − A) = 1,6 sin A, откуда tan A = sin 80° / (1,6 + cos 80°), поэтому A ≈ 31,6°, C ≈ 48,4°.

Проверим стороны по теореме синусов: BC = 8 sin A / sin C ≈ 5 см, что согласуется с условием.

Ответ: ∠A ≈ 31,6°, ∠C ≈ 48,4°. Условие совместимо; треугольник существует.