Задание 2. Найдите неопределённый интеграл: 1. ∫(sin x + cos x)² dx; 2. ∫ 4/(3x − 1)² dx; 3. ∫ 3 sin 2x dx; 4. ∫(4 − 5x)⁷ dx; 5. ∫(2/cos²(3x + 1) − 3 sin(4 − x) + 2x) dx; 6. ∫(1 − cos 3x + 2 sin(π/3 − x)) dx.

Используем тождества \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) и \(2\sin x\cos x=\sin 2x\):

\((\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x\).

Тогда \(\int(1+\sin 2x)\,dx=x-\frac{1}{2}\cos 2x+C\).

Подстановка \(u=3x-1\), поэтому \(du=3\,dx\):

\(\int\frac{4}{(3x-1)^2}\,dx=\frac{4}{3}\int u^{-2}\,du=-\frac{4}{3u}+C=-\frac{4}{3(3x-1)}+C\).

Используем \(\int\sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x\):

\(\int 3\sin 2x\,dx=-\frac{3}{2}\cos 2x+C\).

Подстановка \(u=4-5x\), поэтому \(du=-5\,dx\):

\(\int(4-5x)^7\,dx=-\frac{1}{5}\int u^7\,du=-\frac{u^8}{40}+C=-\frac{(4-5x)^8}{40}+C\).

Интегрируем слагаемые по отдельности:

\(\int\frac{2}{\cos^2(3x+1)}\,dx=\frac{2}{3}\tan(3x+1)\), поскольку \((\tan(3x+1))'=3/\cos^2(3x+1)\).

Так как \((\cos(4-x))'=\sin(4-x)\), получаем \(\int-3\sin(4-x)\,dx=-3\cos(4-x)\). Кроме того, \(\int 2x\,dx=x^2\).

Итак, \(\frac{2}{3}\tan(3x+1)-3\cos(4-x)+x^2+C\).

Интегрируем слагаемые по отдельности. Поскольку \((\sin 3x)'=3\cos 3x\), а \((\cos(\frac{\pi}{3}-x))'=\sin(\frac{\pi}{3}-x)\):

\(\int(1-\cos 3x+2\sin(\frac{\pi}{3}-x))\,dx=x-\frac{1}{3}\sin 3x+2\cos(\frac{\pi}{3}-x)+C\).