Задание №2. Найдите стороны параллелограмма, если его P = 36. 1) На рисунке отмечены равными соседние стороны. 2) AB : BC = 1 : 2. 3) В прямоугольнике RSKL точка M лежит на диагонали LS, RM ⟂ LS, LM = 2, ∠RLM = 60°. 4) В прямоугольнике RQST точка M лежит на стороне RQ, RM + MQ = 10; отмеченные углы треугольника MQS равны. 5) В прямоугольнике MKRE точка F лежит на стороне MK, MF − FK = 6, ∠MFE = 45°.

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух соседних сторон, поэтому их сумма равна 36 : 2 = 18.

1) Отметки показывают равенство соседних сторон. Значит, все стороны равны: 36 : 4 = 9.

2) Пусть AB = x, тогда BC = 2x. Получаем x + 2x = 18, откуда x = 6. Значит, AB = CD = 6, BC = AD = 12.

3) Данные на рисунке противоречат условию P = 36, поэтому такого прямоугольника не существует. Действительно, в прямоугольном треугольнике RLM угол M равен 90°, ∠RLM = 60°, LM = 2. Тогда cos 60° = LM/RL, откуда RL = 4. Так как M лежит на LS, угол RLS тоже равен 60°. В прямоугольном треугольнике RLS получаем RS = RL · tan 60° = 4√3. Тогда периметр был бы 2(4 + 4√3) = 8 + 8√3, а не 36.

4) Из RM + MQ = 10 следует, что сторона RQ равна 10. Треугольник MQS прямоугольный, а отмеченные острые углы при M и S равны, поэтому MQ = QS. Пусть QS = MQ = x. Тогда стороны прямоугольника равны 10 и x, а x + 10 = 18. Следовательно, x = 8.

5) Треугольник MFE прямоугольный при M. Так как ∠MFE = 45°, второй острый угол тоже равен 45°, поэтому MF = ME. Обозначим MF = ME = x, FK = y. По условию x − y = 6. Ширина MK равна x + y, а сумма соседних сторон прямоугольника равна 18: x + (x + y) = 18. Решаем систему: x − y = 6; 2x + y = 18. Получаем x = 8, y = 2, поэтому MK = 10, ME = 8.

Ответ: 1) 9 и 9; 2) AB = CD = 6, BC = AD = 12; 3) условия несовместимы; 4) стороны 10 и 8; 5) стороны 10 и 8.