Задание 2 Найдите значение числового выражения: a) (\(\sqrt[4]{-11}\))^4; б) \(\sqrt{16 * 625}\); в) \(\sqrt[3]{9} * \sqrt[6]{9}\).

Решение:

а) \((\sqrt[4]{-11})^4\)

Выражение \(\sqrt[4]{-11}\) не определено в действительных числах, так как нельзя извлечь корень четвёртой степени из отрицательного числа. Следовательно, всё выражение не определено в действительных числах.

б) \(\sqrt{16 * 625}\)

Используем свойство корней \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\).

1. \(\sqrt{16} = 4\)


2. \(\sqrt{625} = 25\)


3. \(\sqrt{16 * 625} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{625} = 4 \cdot 25 = 100\)

в) \(\sqrt[3]{9} * \sqrt[6]{9}\)

Для умножения корней приведём их к одному показателю степени. Наименьшее общее кратное для 3 и 6 — это 6.

1. Представим \(\sqrt[3]{9}\) как корень шестой степени: \(\sqrt[3]{9} = \sqrt[3 \times 2]{9^2} = \sqrt[6]{81}\)


2. Теперь умножим корни: \(\sqrt[6]{81} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{81 \cdot 9} = \sqrt[6]{729}\)


3. \(729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6\)


4. \(\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3\)

Ответ: а) не определено в действительных числах; б) 100; в) 3.