Задание 2. Найти: 1) длину ребра A₁A₂; 2) угол между рёбрами A₁A₂ и A₁A₄; 3) площадь грани A₁A₂A₃; 4) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄. A₁(6, 1, 1), A₂(4, 6, 6), A₃(4, 2, 0), A₄(1, 2, 6).

Найдём векторы из точки \(A_1\): \(\overrightarrow{A_1A_2}=(-2,5,5)\), \(\overrightarrow{A_1A_3}=(-2,1,-1)\), \(\overrightarrow{A_1A_4}=(-5,1,5)\).

1. Длина ребра равна длине соответствующего вектора:

   \(|A_1A_2|=\sqrt{(-2)^2+5^2+5^2}=\sqrt{54}=3\sqrt6.\)

2. Скалярное произведение векторов рёбер: \(\overrightarrow{A_1A_2}\cdot\overrightarrow{A_1A_4}=(-2)(-5)+5\cdot1+5\cdot5=40\). Кроме того, \(|A_1A_4|=\sqrt{(-5)^2+1^2+5^2}=\sqrt{51}\). Поэтому

   \(\cos\angle A_2A_1A_4=\frac{40}{(3\sqrt6)(\sqrt{51})}=\frac{40}{9\sqrt{34}}\), откуда \(\angle A_2A_1A_4=\arccos\left(\frac{40}{9\sqrt{34}}\right)\approx40.3^\circ.\)

3. Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения двух его сторон:

   \(\overrightarrow{A_1A_2}\times\overrightarrow{A_1A_3}=(-10,-12,8)\), поэтому \(S_{A_1A_2A_3}=\frac12\sqrt{(-10)^2+(-12)^2+8^2}=\frac{\sqrt{308}}2=\sqrt{77}.\)

4. Объём пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения трёх векторов, выходящих из одной вершины:

   \(V=\frac16\left|\left(\overrightarrow{A_1A_2}\times\overrightarrow{A_1A_3}\right)\cdot\overrightarrow{A_1A_4}\right|=\frac16|(-10,-12,8)\cdot(-5,1,5)|=\frac{78}{6}=13.\)

Ответ: 1) \(3\sqrt6\); 2) \(\arccos\left(\frac{40}{9\sqrt{34}}\right)\approx40.3^\circ\); 3) \(\sqrt{77}\); 4) \(13\).