Задание 2. Около равностороннего треугольника АВС описана окружность с центром О. Докажите, что углы АОВ, ВОС, АОС равны. (Обязательно сделать полное оформление, дано, чертеж, доказательство).

Дано:

ΔABC — равносторонний.

О — центр описанной окружности.

Доказать:

\( \angle AOB = \angle BOC = \angle AOC \)

Чертеж:

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔABC. Так как он равносторонний, то все его стороны равны: \( AB = BC = AC \).
2. Рассмотрим ΔAOB, ΔBOC, ΔAOC.
3. Стороны OA, OB, OC являются радиусами описанной окружности, поэтому \( OA = OB = OC \).
4. Теперь сравним треугольники:
   • ΔAOB и ΔBOC: \( OA = OB \) (радиусы), \( OB = OC \) (радиусы), \( AB = BC \) (стороны равностороннего треугольника). Следовательно, ΔAOB = ΔBOC по трём сторонам (3 признак равенства).
   • ΔBOC и ΔAOC: \( OB = OC \) (радиусы), \( OC = OA \) (радиусы), \( BC = AC \) (стороны равностороннего треугольника). Следовательно, ΔBOC = ΔAOC по трём сторонам.
5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, \( \angle AOB = \angle BOC = \angle AOC \).

Доказано.