Задание № 2. Отрезки AB и MN пересекаются в точке O. Известно, что AO = OB = 13 см и MO = ON. Отмеченные на рисунке углы равны. Найдите расстояние между точками A и M, если периметр треугольника BON составляет 33 см.

По рисунку отмеченные углы равны: \(\angle AOM = \angle OBN\). Углы \(\angle AOM\) и \(\angle BON\) — вертикальные, поэтому \(\angle BON = \angle OBN\).

В треугольнике \(BON\) равным углам противолежат равные стороны: \(BN = ON\).

Периметр треугольника равен 33 см, а \(BO = 13\) см:

\(ON + BN = 33 - 13 = 20\) см.

Так как \(ON = BN\), получаем \(ON = BN = 20 : 2 = 10\) см. По условию \(MO = ON = 10\) см.

Треугольники \(AOM\) и \(BON\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AO = BO = 13\) см, \(MO = ON = 10\) см, а \(\angle AOM = \angle BON\) как вертикальные. Поэтому соответствующие стороны равны: \(AM = BN = 10\) см.

Ответ: 10 см.