Задание №2. Периметр равнобедренного треугольника с углом \(120^\circ\) равен 26. Найдите стороны этого треугольника.

Угол \(120^\circ\) — вершины равнобедренного треугольника, поэтому равны стороны \(AB\) и \(AC\). Обозначим их длину за \(x\). По теореме косинусов для основания \(BC\):

\(BC^2=x^2+x^2-2x^2\cos120^\circ=2x^2+x^2=3x^2\), следовательно, \(BC=x\sqrt{3}\).

Используем периметр:

\(2x+x\sqrt{3}=26\), откуда \(x=\dfrac{26}{2+\sqrt{3}}=26(2-\sqrt{3})\).

Значит, \(AB=26(2-\sqrt{3})\), а \(BC=26(2-\sqrt{3})\sqrt{3}=26(2\sqrt{3}-3)\). Также \(AC=AB\).

Ответ: \(AB=AC=26(2-\sqrt{3})\), \(BC=26(2\sqrt{3}-3)\).