Задание 2. По теореме синусов: AB = x, BC = 14, ∠ABD = 45°, ∠DBC = 30°, AD = DC, BD = y. Найти x и y.

Обозначим \(AD=DC=s\). В треугольнике ABC углы при B составляют \(45^\circ+30^\circ=75^\circ\). Из равенства отрезков AD и DC и теоремы синусов для треугольников ABD и BDC получаем систему:

\(\frac{x\sin45^\circ}{\sin(135^\circ-A)}=\frac{14\sin30^\circ}{\sin(105^\circ+A)},\quad A=\angle BAD.\)

Кроме того, по теореме синусов в треугольнике ABC:

\(\frac{x}{\sin(105^\circ-A)}=\frac{14}{\sin A}.\)

Из этих соотношений следует \(A=30^\circ\), поэтому \(\angle C=75^\circ-A=45^\circ\). Тогда по теореме синусов:

\(x=14\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=14\sqrt2.\)

В треугольнике BDC углы равны \(30^\circ\), \(45^\circ\) и \(105^\circ\). По теореме синусов:

\(\frac{y}{\sin45^\circ}=\frac{14}{\sin105^\circ},\quad y=14\frac{\sin45^\circ}{\sin105^\circ}=14(\sqrt3-1).\)

Ответ: \(x=14\sqrt2\), \(y=14(\sqrt3-1)\).