Задание 2 (правая колонка). Точка D лежит на отрезке AB, причём BD : BA = 1 : 4. Через точку A проведена плоскость α, а через точку D — отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁ пересекает плоскость α в точке C. а) Докажите подобие треугольников DBD₁ и ABC. б) Найдите DD₁, если AC = 12 см.

а) Точки B, D и A лежат на одной прямой; точки B, D₁ и C — на одной прямой. Прямые AC и DD₁ параллельны: обе лежат в плоскости ABD₁, а DD₁ параллелен плоскости α, в которой лежит AC. Поэтому ∠DBD₁ = ∠ABC и ∠BDD₁ = ∠BAC. Следовательно, △BDD₁ ∼ △BAC по двум углам.

б) Из подобия DD₁/AC = BD/BA = 1/4. Тогда DD₁ = 12 · 1/4 = 3 см.

Ответ: DD₁ = 3 см.