Задание 2. Представить выражение в виде многочлена.

Решение:

Используем формулы бинома Ньютона для раскрытия скобок.

• 1. (a + 2)⁵: \( a^5 + 5a^4 \cdot 2 + 10a^3 \cdot 2^2 + 10a^2 \cdot 2^3 + 5a \cdot 2^4 + 2^5 = a^5 + 10a^4 + 40a^3 + 80a^2 + 80a + 32 \)
• 2. (a + 1)⁵: \( a^5 + 5a^4 \cdot 1 + 10a^3 \cdot 1^2 + 10a^2 \cdot 1^3 + 5a \cdot 1^4 + 1^5 = a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 5a + 1 \)
• 3. (a + b)⁶: \( a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 \)
• 4. (a - b)⁶: \( a^6 - 6a^5b + 15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15a^2b^4 - 6ab^5 + b^6 \)
• 5. (a - 2)⁵: \( a^5 - 5a^4 \cdot 2 + 10a^3 \cdot 2^2 - 10a^2 \cdot 2^3 + 5a \cdot 2^4 - 2^5 = a^5 - 10a^4 + 40a^3 - 80a^2 + 80a - 32 \)
• 6. (a - 1)⁶: \( a^6 - 6a^5 \cdot 1 + 15a^4 \cdot 1^2 - 20a^3 \cdot 1^3 + 15a^2 \cdot 1^4 - 6a \cdot 1^5 + 1^6 = a^6 - 6a^5 + 15a^4 - 20a^3 + 15a^2 - 6a + 1 \)
• 7. (1 + b)⁷: \( 1^7 + 7 \cdot 1^6 b + 21 \cdot 1^5 b^2 + 35 \cdot 1^4 b^3 + 35 \cdot 1^3 b^4 + 21 \cdot 1^2 b^5 + 7 \cdot 1 b^6 + b^7 = 1 + 7b + 21b^2 + 35b^3 + 35b^4 + 21b^5 + 7b^6 + b^7 \)
• 8. (c + 1)⁶: \( c^6 + 6c^5 \cdot 1 + 15c^4 \cdot 1^2 + 20c^3 \cdot 1^3 + 15c^2 \cdot 1^4 + 6c \cdot 1^5 + 1^6 = c^6 + 6c^5 + 15c^4 + 20c^3 + 15c^2 + 6c + 1 \)
• 9. (c + 2)⁵: \( c^5 + 5c^4 \cdot 2 + 10c^3 \cdot 2^2 + 10c^2 \cdot 2^3 + 5c \cdot 2^4 + 2^5 = c^5 + 10c^4 + 40c^3 + 80c^2 + 80c + 32 \)
• 10. (a + 3)⁵: \( a^5 + 5a^4 \cdot 3 + 10a^3 \cdot 3^2 + 10a^2 \cdot 3^3 + 5a \cdot 3^4 + 3^5 = a^5 + 15a^4 + 90a^3 + 270a^2 + 405a + 243 \)
• 11. (2a + b)⁶: \( (2a)^6 + 6(2a)^5b + 15(2a)^4b^2 + 20(2a)^3b^3 + 15(2a)^2b^4 + 6(2a)b^5 + b^6 = 64a^6 + 192a^5b + 240a^4b^2 + 160a^3b^3 + 60a^2b^4 + 12ab^5 + b^6 \)
• 12. (a - 2b)⁶: \( a^6 - 6a^5(2b) + 15a^4(2b)^2 - 20a^3(2b)^3 + 15a^2(2b)^4 - 6a(2b)^5 + (2b)^6 = a^6 - 12a^5b + 60a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + 64b^6 \)
• 13. (a + b)⁷: \( a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7 \)
• 14. (a + b)⁸: \( a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8 \)
• 15. (a + b)⁹: \( a^9 + 9a^8b + 36a^7b^2 + 84a^6b^3 + 126a^5b^4 + 126a^4b^5 + 84a^3b^6 + 36a^2b^7 + 9ab^8 + b^9 \)
• 16. (c + 2)⁵: \( c^5 + 5c^4 \cdot 2 + 10c^3 \cdot 2^2 + 10c^2 \cdot 2^3 + 5c \cdot 2^4 + 2^5 = c^5 + 10c^4 + 40c^3 + 80c^2 + 80c + 32 \)
• 17. (c + 1)⁵: \( c^5 + 5c^4 \cdot 1 + 10c^3 \cdot 1^2 + 10c^2 \cdot 1^3 + 5c \cdot 1^4 + 1^5 = c^5 + 5c^4 + 10c^3 + 10c^2 + 5c + 1 \)
• 18. (a + 2b)⁶: \( a^6 + 6a^5(2b) + 15a^4(2b)^2 + 20a^3(2b)^3 + 15a^2(2b)^4 + 6a(2b)^5 + (2b)^6 = a^6 + 12a^5b + 60a^4b^2 + 160a^3b^3 + 240a^2b^4 + 192ab^5 + 64b^6 \)
• 19. (a - b)⁸: \( a^8 - 8a^7b + 28a^6b^2 - 56a^5b^3 + 70a^4b^4 - 56a^3b^5 + 28a^2b^6 - 8ab^7 + b^8 \)
• 20. (3a + 2)⁵: \( (3a)^5 + 5(3a)^4 \cdot 2 + 10(3a)^3 \cdot 2^2 + 10(3a)^2 \cdot 2^3 + 5(3a) \cdot 2^4 + 2^5 = 243a^5 + 810a^4 + 1080a^3 + 720a^2 + 240a + 32 \)
• 21. (a - 1)⁶: \( a^6 - 6a^5 + 15a^4 - 20a^3 + 15a^2 - 6a + 1 \)
• 22. (1 + b)³: \( 1^3 + 3 \cdot 1^2 b + 3 \cdot 1 b^2 + b^3 = 1 + 3b + 3b^2 + b^3 \)
• 23. (c - 1)⁶: \( c^6 - 6c^5 + 15c^4 - 20c^3 + 15c^2 - 6c + 1 \)
• 24. (c + 3)⁵: \( c^5 + 5c^4 \cdot 3 + 10c^3 \cdot 3^2 + 10c^2 \cdot 3^3 + 5c \cdot 3^4 + 3^5 = c^5 + 15c^4 + 90c^3 + 270c^2 + 405c + 243 \)
• 25. (a - 2b)⁵: \( a^5 - 5a^4(2b) + 10a^3(2b)^2 - 10a^2(2b)^3 + 5a(2b)^4 - (2b)^5 = a^5 - 10a^4b + 40a^3b^2 - 80a^2b^3 + 80ab^4 - 32b^5 \)

Ответ: приведены развёрнутые многочлены для каждого выражения.