Задание 2. Проверить устойчивость стержня. Стержень длиной ℓ = 2,8 м защемлён одним концом, сечение — швеллер № 30, материал стержня — Ст3, запас устойчивости [Sy] = 3. Стержень нагружен сжимающей силой F = 100 кН. μ = 2 — коэффициент приведённой длины; E = 2·10⁵ МПа — модуль упругости. Основные геометрические параметры по ГОСТ 8240-89. Швеллер № 30: площадь сечения; минимальный осевой момент сечения Imin; imin — минимальный радиус инерции сечения; λпред. = 100 — предельная гибкость для материала Ст3. Рис. 2: стержень защемлён у основания, сила F приложена вдоль стержня на свободном конце.

Для швеллера № 30 по сортаменту принимаем площадь сечения A ≈ 40,5 см² и минимальный осевой момент инерции Imin ≈ 387 см⁴. Следует сверить эти табличные значения с экземпляром ГОСТ, используемым в работе.

1. Приведённая длина: Lпр = μℓ = 2 · 2,8 = 5,6 м = 560 см.

2. Минимальный радиус инерции: imin = √(Imin/A) = √(387/40,5) ≈ 3,09 см.

3. Гибкость: λ = Lпр/imin = 560/3,09 ≈ 181. Она превышает заданную предельную гибкость λпред. = 100, поэтому применим проверку по формуле Эйлера.

4. Эйлерова критическая сила: Fкр = π²EImin/Lпр². Переведём единицы: E = 2·10⁵ Н/мм², Imin = 387·10⁴ мм⁴, Lпр = 5600 мм.

Fкр = π² · 2·10⁵ · 387·10⁴ / 5600² ≈ 244 000 Н = 244 кН.

5. Коэффициент запаса устойчивости: n = Fкр/F = 244/100 = 2,44. Требуется n ≥ 3, но 2,44 < 3. Эквивалентно, допускаемая сила Fдоп = Fкр/3 ≈ 81,3 кН, что меньше приложенных 100 кН.

Ответ: стержень не удовлетворяет условию устойчивости при заданном запасе 3.