Ответ:

  1. Не надо думать о неприятностях — имя существительное.
  2. Меня удивило неприветливое выражение её лица — имя прилагательное. Слово обозначает постоянный признак и может быть заменено синонимом «недружелюбное».
  3. Для решения проблемы не всегда находятся силы — наречие. Отрицание относится к наречию и пишется раздельно.
  4. Они поднялись на невысокий гребень — имя прилагательное. Можно заменить синонимом «низкий».
  5. Он увидел растения, ещё не открытые учёными — причастие. С причастием есть зависимое слово «учёными», поэтому «не» пишется раздельно.
  6. Они не навидят открытое море — глагол. С глаголами «не» обычно пишется раздельно. Примечание: нормативная форма — «ненавидят», так как слово «ненавидеть» без «не» не употребляется.
  7. Он не способен укротить нрав короля — краткое прилагательное. «Не» пишется раздельно.
  8. Мальчик, ничего не понимавший, прохромал через комнату — причастие. Есть зависимое слово «ничего», поэтому «не» пишется раздельно.
  9. Он не мог ранить его ещё сильнее — глагол. С глаголом «не» пишется раздельно.
  10. Он скользнул вниз, совсем негромко ступая туфлями — наречие. «Совсем» усиливает значение признака, поэтому возможно слитное написание: «тихо».
  11. Он человек отважный, но не далёкий — имя прилагательное. Есть противопоставление с союзом «но», поэтому «не» пишется раздельно.
  12. Он сел, не отводя глаз от огонька свечи — деепричастие. С деепричастиями «не» пишется раздельно.
  13. Завтра непременно нужно прийти в восемь часов — наречие. Слово без «не» не употребляется.
  14. Ты невиноват — краткое прилагательное. «Не» пишется слитно, так как слово обозначает единый признак «безвинен».
  15. Книга не куплена — краткое причастие. С краткими причастиями «не» пишется раздельно.

Ответ: неприятностях — существительное; неприветливое — прилагательное; не всегда — наречие; невысокий — прилагательное; не открытые — причастие; ненавидят — глагол; не способен — краткое прилагательное; не понимавший — причастие; не мог — глагол; негромко — наречие; не далёкий — прилагательное; не отводя — деепричастие; непременно — наречие; невиноват — краткое прилагательное; не куплена — краткое причастие.