Задание №2. Раскройте скобки в выражении:

Решение:

Для раскрытия скобок в выражениях будем использовать формулу бинома Ньютона:

\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)

или

\( (a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k \)

а) \( (x + 1)^7 \)

Используем формулу бинома Ньютона для \( n = 7 \), \( a = x \), \( b = 1 \):

\[ (x + 1)^7 = \binom{7}{0}x^7(1)^0 + \binom{7}{1}x^6(1)^1 + \binom{7}{2}x^5(1)^2 + \binom{7}{3}x^4(1)^3 + \binom{7}{4}x^3(1)^4 + \binom{7}{5}x^2(1)^5 + \binom{7}{6}x^1(1)^6 + \binom{7}{7}x^0(1)^7 \]

Рассчитаем биномиальные коэффициенты:

• \( \binom{7}{0} = 1 \)
• \( \binom{7}{1} = 7 \)
• \( \binom{7}{2} = \frac{7 × 6}{2 × 1} = 21 \)
• \( \binom{7}{3} = \frac{7 × 6 × 5}{3 × 2 × 1} = 35 \)
• \( \binom{7}{4} = \binom{7}{3} = 35 \)
• \( \binom{7}{5} = \binom{7}{2} = 21 \)
• \( \binom{7}{6} = \binom{7}{1} = 7 \)
• \( \binom{7}{7} = 1 \)

Подставим коэффициенты:

\[ (x + 1)^7 = 1 \cdot x^7 + 7 \cdot x^6 + 21 \cdot x^5 + 35 \cdot x^4 + 35 \cdot x^3 + 21 \cdot x^2 + 7 \cdot x + 1 \]

\[ (x + 1)^7 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1 \]

б) \( (2x - y)^6 \)

Используем формулу бинома Ньютона для \( n = 6 \), \( a = 2x \), \( b = y \):

\[ (2x - y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} (2x)^{6-k} (-y)^k \]

Рассчитаем биномиальные коэффициенты:

• \( \binom{6}{0} = 1 \)
• \( \binom{6}{1} = 6 \)
• \( \binom{6}{2} = \frac{6 × 5}{2 × 1} = 15 \)
• \( \binom{6}{3} = \frac{6 × 5 × 4}{3 × 2 × 1} = 20 \)
• \( \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = 15 \)
• \( \binom{6}{5} = \binom{6}{1} = 6 \)
• \( \binom{6}{6} = 1 \)

Подставим коэффициенты и раскроем степени:

\[ (2x - y)^6 = \binom{6}{0}(2x)^6(-y)^0 + \binom{6}{1}(2x)^5(-y)^1 + \binom{6}{2}(2x)^4(-y)^2 + \binom{6}{3}(2x)^3(-y)^3 + \binom{6}{4}(2x)^2(-y)^4 + \binom{6}{5}(2x)^1(-y)^5 + \binom{6}{6}(2x)^0(-y)^6 \]

\[ (2x - y)^6 = 1 \cdot (64x^6) × 1 + 6 \cdot (32x^5) × (-y) + 15 \cdot (16x^4) × y^2 + 20 \cdot (8x^3) × (-y^3) + 15 \cdot (4x^2) × y^4 + 6 \cdot (2x) × (-y^5) + 1 \cdot 1 \cdot y^6 \]

\[ (2x - y)^6 = 64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6 \]

в) \( (x^2 + 2)^6 \)

Используем формулу бинома Ньютона для \( n = 6 \), \( a = x^2 \), \( b = 2 \):

\[ (x^2 + 2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} (x^2)^{6-k} (2)^k \]

Используем те же биномиальные коэффициенты, что и в пункте б):

• \( \binom{6}{0} = 1 \)
• \( \binom{6}{1} = 6 \)
• \( \binom{6}{2} = 15 \)
• \( \binom{6}{3} = 20 \)
• \( \binom{6}{4} = 15 \)
• \( \binom{6}{5} = 6 \)
• \( \binom{6}{6} = 1 \)

Подставим коэффициенты и раскроем степени:

\[ (x^2 + 2)^6 = \binom{6}{0}(x^2)^6(2)^0 + \binom{6}{1}(x^2)^5(2)^1 + \binom{6}{2}(x^2)^4(2)^2 + \binom{6}{3}(x^2)^3(2)^3 + \binom{6}{4}(x^2)^2(2)^4 + \binom{6}{5}(x^2)^1(2)^5 + \binom{6}{6}(x^2)^0(2)^6 \]

\[ (x^2 + 2)^6 = 1 × x^{12} × 1 + 6 × x^{10} × 2 + 15 × x^8 × 4 + 20 × x^6 × 8 + 15 × x^4 × 16 + 6 × x^2 × 32 + 1 × 1 × 64 \]

\[ (x^2 + 2)^6 = x^{12} + 12x^{10} + 60x^8 + 160x^6 + 240x^4 + 192x^2 + 64 \]

Ответ:

а) \( x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1 \)

б) \( 64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6 \)

в) \( x^{12} + 12x^{10} + 60x^8 + 160x^6 + 240x^4 + 192x^2 + 64 \)