Задание 2. Решить логарифмические уравнения: 1) \(\log_{10}(2-x)=\log_{10}(x-6)\); 2) \(\log_3 x+\log_3(x+2)=1\); 3) \(\log_3(4x-3)=2\); 4) \((\log_3 x)^2-6\log_3 x+9=0\); 5) \(\log_5(2x+7)=\log_5(x-3)\); 6) \(\log_7(5-x)+\log_7 2=1\); 7) \(\log_{1/2}(3x-1)=-3\); 8) \(\log_7(x^2-2x-8)=0\); 9) \(\log_3(4x-3)=2\); 10) \(\log_{1/2}(x^2+4x-5)=-4\); 11) \(\log_2(3x-4)=3\); 12) \(\log_{1/2}(x^2-5x+6)=-1\).

1. Область определения требует, чтобы каждый аргумент логарифма был положительным.
2. 1) Необходимо одновременно \(2-x>0\) и \(x-6>0\), то есть \(x<2\) и \(x>6\). Условия несовместимы; решений нет.
3. 2) По свойству логарифмов \(\log_3(x(x+2))=1\), значит \(x(x+2)=3\). Получаем \(x^2+2x-3=0\), корни \(1\) и \(-3\). По области определения \(x>0\), подходит только \(x=1\).
4. 3) \(4x-3=3^2=9\), откуда \(x=3\).
5. 4) Обозначим \(t=\log_3 x\). Тогда \(t^2-6t+9=0\), то есть \((t-3)^2=0\). Следовательно, \(\log_3 x=3\), откуда \(x=27\).
6. 5) Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт \(2x+7=x-3\), откуда \(x=-10\). Но для определения логарифма требуется \(x-3>0\); корень не подходит. Решений нет.
7. 6) \(\log_7(2(5-x))=1\), поэтому \(2(5-x)=7\). Отсюда \(x=3/2\); условие \(x<5\) выполнено.
8. 7) \(3x-1=(1/2)^{-3}=8\), откуда \(x=3\).
9. 8) \(x^2-2x-8=7^0=1\), значит \(x^2-2x-9=0\). Корни: \(x=1\pm\sqrt{10}\). Для каждого из них аргумент равен 1, поэтому оба допустимы.
10. 9) \(4x-3=3^2=9\), откуда \(x=3\).
11. 10) \(x^2+4x-5=(1/2)^{-4}=16\), поэтому \(x^2+4x-21=0\). Корни \(3\) и \(-7\); при обоих аргумент логарифма равен 16, оба подходят.
12. 11) \(3x-4=2^3=8\), откуда \(x=4\).
13. 12) \(x^2-5x+6=(1/2)^{-1}=2\), значит \(x^2-5x+4=0\). Корни \(x=1\) и \(x=4\); оба допустимы.

Ответ: 1) решений нет; 2) 1; 3) 3; 4) 27; 5) решений нет; 6) \(3/2\); 7) 3; 8) \(1\pm\sqrt{10}\); 9) 3; 10) −7, 3; 11) 4; 12) 1, 4.