Задание 2. Решить уравнение: а) \(\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9\); б) \(\sqrt{x^2+2x+10}=2x-1\); в) \(\sqrt{x}+16=0\); г) \(\sqrt{x}=4\).

а) Область допустимых значений: \(x\ge2\). Возведём обе части в квадрат: \(2x+5+2\sqrt{(x+7)(x-2)}=81\), поэтому \(\sqrt{(x+7)(x-2)}=38-x\), где необходимо \(x\le38\).

Ещё раз возведём в квадрат: \((x+7)(x-2)=(38-x)^2\). Отсюда \(x^2+5x-14=x^2-76x+1444\), значит, \(x=18\). Проверка: \(\sqrt{25}+\sqrt{16}=5+4=9\).

б) Правая часть должна быть неотрицательной: \(2x-1\ge0\), то есть \(x\ge\frac12\). Возведём уравнение в квадрат: \(x^2+2x+10=(2x-1)^2\). Получаем \(3x^2-6x-9=0\), или \((x-3)(x+1)=0\). Из корней \(3\) и \(-1\) условию \(x\ge\frac12\) удовлетворяет только \(3\). Проверка: \(\sqrt{25}=5=2\cdot3-1\).

в) При \(x\ge0\) имеем \(\sqrt{x}\ge0\), поэтому \(\sqrt{x}+16\ge16\). Равенство нулю невозможно.

г) Возведём обе части в квадрат: \(x=16\). Проверка: \(\sqrt{16}=4\).

Ответ: а) \(18\); б) \(3\); в) решений нет; г) \(16\).