Задание 2. Решите графически систему линейных уравнений: { 1/2 x + y = 2 x - y = 1 }

Решение:

Чтобы решить систему графически, построим графики обоих уравнений в одной системе координат.

1. График первого уравнения: \( \frac{1}{2}x + y = 2 \)

Выразим \( y \) через \( x \): \( y = 2 - \frac{1}{2}x \).

Найдем две точки для построения:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 2 - \frac{1}{2}\cdot 0 = 2 \). Точка (0, 2).
• Если \( x = 2 \), то \( y = 2 - \frac{1}{2}\cdot 2 = 2 - 1 = 1 \). Точка (2, 1).

2. График второго уравнения: \( x - y = 1 \)

Выразим \( y \) через \( x \): \( y = x - 1 \).

Найдем две точки для построения:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 0 - 1 = -1 \). Точка (0, -1).
• Если \( y = 0 \), то \( 0 = x - 1 \), \( x = 1 \). Точка (1, 0).

3. Найдем точку пересечения графиков.

Построим эти графики на координатной плоскости. Точка, где пересекаются прямые, является решением системы.

Из графика видно, что точки, удовлетворяющие первому уравнению (0, 2) и (2, 1), и точки, удовлетворяющие второму уравнению (0, -1) и (1, 0), при построении пересекаются в точке с координатами (2, 1).

Проверка:

• Для первого уравнения: \( \frac{1}{2}\cdot 2 + 1 = 1 + 1 = 2 \) (верно).
• Для второго уравнения: \( 2 - 1 = 1 \) (верно).

Ответ: x = 2, y = 1.