Задание 2. Решите неравенство: log_a (5-x) ≥ log_a 3

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_a(5-x) \ge \log_a 3 \) необходимо рассмотреть два случая в зависимости от основания логарифма \( a \).

Условие для существования логарифма: \( 5 - x > 0 \) \( \Rightarrow x < 5 \).

Случай 1: Основание \( a > 1 \).

В этом случае логарифмическая функция возрастает, поэтому знаки неравенства сохраняются:

1. \( 5 - x \ge 3 \)
2. \( -x \ge 3 - 5 \)
3. \( -x \ge -2 \)
4. \( x \le 2 \)

Объединяем с условием \( x < 5 \): \( x \le 2 \).

Случай 2: Основание \( 0 < a < 1 \).

В этом случае логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

1. \( 5 - x \le 3 \)
2. \( -x \le 3 - 5 \)
3. \( -x \le -2 \)
4. \( x \ge 2 \)

Объединяем с условием \( x < 5 \): \( 2 \le x < 5 \).

Ответ: Если \( a > 1 \), то \( x \in (-\infty; 2] \). Если \( 0 < a < 1 \), то \( x \in [2; 5) \).