Задание 2. Решите неравенство методом интервалов, определите, являются ли данные неравенства равносильными: (x² − 5x + 14)(x − 3)² > 0 и (x² − 5x + 14)/|x − 3| > 0.

1. Первое неравенство:

Рассмотрим квадратный трёхчлен: \(x^2-5x+14\).

Его дискриминант: \(D=(-5)^2-4\cdot1\cdot14=25-56=-31<0\). Так как старший коэффициент положителен, то \(x^2-5x+14>0\) при всех \(x\in\mathbb R\).

Кроме того, \((x-3)^2\ge 0\), причём \((x-3)^2=0\) только при \(x=3\). Поэтому произведение положительно при всех \(x\ne3\).

Методом интервалов: критическая точка \(x=3\); знак произведения положителен на интервалах \((-,3)\) и \((3,+)\), а точка \(3\) не входит.

Решение: \(x\in(-\infty,3)\cup(3,+\infty)\).

2. Второе неравенство:

ОДЗ: \(|x-3|\ne0\), поэтому \(x\ne3\).

Числитель \(x^2-5x+14>0\) при всех \(x\), а знаменатель \(|x-3|>0\) при \(x\ne3\). Следовательно, дробь положительна на всей области определения.

Решение: \(x\in(-\infty,3)\cup(3,+\infty)\).

Оба неравенства имеют одинаковое множество решений.

Ответ: неравенства равносильны; решение обоих: \(x\in(-\infty,3)\cup(3,+\infty)\).