Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
а) \(\cos\left(\frac{x}{3}\right)>\frac{\sqrt3}{2}\).
Поскольку \(\cos t>\frac{\sqrt3}{2}\) при \(-\frac{\pi}{6}+2\pi k \[ -\frac{\pi}{6}+2\pi k<\frac{x}{3}<\frac{\pi}{6}+2\pi k. \] Умножим на 3: \[\boxed{x\in\left(-\frac{\pi}{2}+6\pi k;\frac{\pi}{2}+6\pi k\right)},\quad k\in\mathbb Z.\] б) \(\sin(2x)<\frac12\). Для синуса: \[t\in\left(-\pi+2\pi k;\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\pi+2\pi k\right).\] Полагая \(t=2x\) и деля границы на 2, получаем: \[\boxed{x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{12}+\pi k\right)\cup\left(\frac{5\pi}{12}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right)},\quad k\in\mathbb Z.\] в) \(2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\le1\). Разделим на 2: \[\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\le\frac12.\] Значения косинуса не больше \(\frac12\), если \[\frac{\pi}{3}+2\pi k\le t\le\frac{5\pi}{3}+2\pi k.\] Подставим \(t=2x+\frac{\pi}{3}\): \[\frac{\pi}{3}+2\pi k\le2x+\frac{\pi}{3}\le\frac{5\pi}{3}+2\pi k.\] Отсюда: \[\boxed{x\in\left[\pi k;\frac{2\pi}{3}+\pi k\right]},\quad k\in\mathbb Z.\] г) \(2\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt3\). Разделим на 2: \[\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)>\frac{\sqrt3}{2}.\] Используем условие для косинуса: \[-\frac{\pi}{6}+2\pi k<4x-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}+2\pi k.\] Прибавим \(\frac{\pi}{6}\) и разделим на 4: \[\boxed{x\in\left(\frac{\pi k}{2};\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\right)},\quad k\in\mathbb Z.\] д) \(\sqrt3 g\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)\le1\). Разделим на \(\sqrt3\): \[ g\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)\le\frac{1}{\sqrt3}= g\frac{\pi}{6}.\] Так как тангенс возрастает на каждом промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\), имеем: \[-\frac{\pi}{2}+\pi k<3x+\frac{\pi}{6}\le\frac{\pi}{6}+\pi k.\] Вычтем \(\frac{\pi}{6}\) и разделим на 3: \[\boxed{x\in\left(-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3};\frac{\pi k}{3}\right]},\quad k\in\mathbb Z.\] Ответ: решения указаны для каждого пункта при \(k\in\mathbb Z\).
