Задание 2. Решите уравнение: a) log₂(9 + 3x) = log₂(6 - x) + 3 (14 баллов); б) 5³ˣ⁻⁶ : 5⁴⁺²ˣ = 1/125 (14 баллов); в) √7x + 30 - x = 0 (14 баллов).

Задание 2.

а) Решение уравнения:

• \[ \log_2 (9 + 3x) = \log_2 (6 - x) + 3 \]
• Перенесем \( \log_2 (6 - x) \) в левую часть:
• \[ \log_2 (9 + 3x) - \log_2 (6 - x) = 3 \]
• Используем свойство логарифма \( \log_b M - \log_b N = \log_b \frac{M}{N} \):
• \[ \log_2 \frac{9 + 3x}{6 - x} = 3 \]
• Представим 3 как логарифм по основанию 2: \( 3 = \log_2 2^3 = \log_2 8 \).
• \[ \log_2 \frac{9 + 3x}{6 - x} = \log_2 8 \]
• Приравниваем аргументы логарифмов:
• \[ \frac{9 + 3x}{6 - x} = 8 \]
• ОДЗ: \( 9 + 3x > 0 \implies 3x > -9 \implies x > -3 \) и \( 6 - x > 0 \implies x < 6 \). Следовательно, \( -3 < x < 6 \).
• Решаем уравнение:
• \[ 9 + 3x = 8(6 - x) \]
• \[ 9 + 3x = 48 - 8x \]
• \[ 3x + 8x = 48 - 9 \]
• \[ 11x = 39 \]
• \[ x = \frac{39}{11} \]
• Проверяем, попадает ли \( x = \frac{39}{11} \) в ОДЗ: \( -3 < \frac{39}{11} < 6 \). \( \frac{39}{11} \approx 3.54 \), что удовлетворяет условию.

б) Решение уравнения:

• \[ 5^{3x - 6} : 5^{4 + 2x} = \frac{1}{125} \]
• Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).
• \[ 5^{(3x - 6) - (4 + 2x)} = \frac{1}{125} \]
• \[ 5^{3x - 6 - 4 - 2x} = \frac{1}{125} \]
• \[ 5^{x - 10} = \frac{1}{125} \]
• Представим \( \frac{1}{125} \) как степень с основанием 5. Так как \( 125 = 5^3 \), то \( \frac{1}{125} = 5^{-3} \).
• \[ 5^{x - 10} = 5^{-3} \]
• Приравниваем показатели степеней:
• \[ x - 10 = -3 \]
• \[ x = -3 + 10 \]
• \[ x = 7 \]

в) Решение уравнения:

• \[ \sqrt{7x + 30} - x = 0 \]
• Перенесем \( x \) в правую часть:
• \[ \sqrt{7x + 30} = x \]
• ОДЗ: \( 7x + 30 \ge 0 \implies 7x \ge -30 \implies x \ge -\frac{30}{7} \) и \( x \ge 0 \) (так как корень равен \( x \), то \( x \) не может быть отрицательным). Следовательно, \( x \ge 0 \).
• Возведем обе части уравнения в квадрат:
• \[ (\sqrt{7x + 30})^2 = x^2 \]
• \[ 7x + 30 = x^2 \]
• Перенесем все члены в одну сторону:
• \[ x^2 - 7x - 30 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169 \]
• Найдем корни квадратного уравнения:
• \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{7 \pm 13}{2} \]
• \[ x_1 = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
• \[ x_2 = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
• Проверим корни на соответствие ОДЗ \( x \ge 0 \):
• \[ x_1 = 10 \] — подходит.
• \[ x_2 = -3 \] — не подходит, так как \( -3 < 0 \).
• Сделаем проверку для \( x = 10 \) подстановкой в исходное уравнение: \( \sqrt{7(10) + 30} - 10 = \sqrt{70 + 30} - 10 = \sqrt{100} - 10 = 10 - 10 = 0 \). Верно.

Ответ: а) ⅓⁹/ⁱ⁻⁻; б) 7; в) 10.