Задание 2. Точки A = (4, 4), B = (8, 5) и C = (6, 9) являются тремя вершинами параллелограмма, его вершинами, соединёнными диагональю, а какие противоположные. а) Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D. б) Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.

а) Если известны три вершины параллелограмма, возможны три положения четвёртой вершины. Используем координатные векторы:

1. Если A — общая вершина двух сторон, то D = B + C − A = (8 + 6 − 4, 5 + 9 − 4) = (10, 10).
2. Если B — общая вершина двух сторон, то D = A + C − B = (4 + 6 − 8, 4 + 9 − 5) = (2, 8).
3. Если C — общая вершина двух сторон, то D = A + B − C = (4 + 8 − 6, 4 + 5 − 9) = (6, 0).

б) Площадь каждого параллелограмма равна модулю определителя двух его сторон. Например, для вершин A, B, C, D₁:

AB = (4, 1), AC = (2, 5), поэтому S₁ = |4 · 5 − 1 · 2| = 18.

Для двух остальных вариантов площадь также равна 18 квадратным единицам. Следовательно, сумма площадей: 18 + 18 + 18 = 54.

Ответ: возможные точки D — (10, 10), (2, 8), (6, 0); сумма площадей — 54 квадратные единицы.