Задание 2. Точки A = (4, 4), B = (8, 5) и C = (6, 9) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные. а) Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D. б) Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.

а) Если три заданные точки — вершины параллелограмма, четвёртая вершина может быть найдена тремя способами:

1. Если A противоположна D, то \(D=A+B-C=(4+8-6,\ 4+5-9)=(6,0)\).
2. Если B противоположна D, то \(D=A+C-B=(4+6-8,\ 4+9-5)=(2,8)\).
3. Если C противоположна D, то \(D=B+C-A=(8+6-4,\ 5+9-4)=(10,10)\).

На схеме показаны все три возможные точки D и соответствующие параллелограммы.

б) Площадь каждого параллелограмма равна модулю определителя двух соседних сторон. Для сторон из точки A: \(\overrightarrow{AB}=(4,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(2,5)\). Поэтому площадь равна \(|4\cdot5-1\cdot2|=18\) квадратных единиц. Во всех трёх случаях площадь одинакова.

Сумма площадей: \(18+18+18=54\).

Ответ: б) 54 квадратные единицы.