Задание № 2. Точки A, B и C принадлежат одной прямой. Известно отношение длин двух отрезков: AC : BC = 3 : 2. Какие значения может принимать длина отрезка AC, если длина отрезка AB равна 10? Варианты: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

Расположение точек на прямой может быть разным, поэтому рассмотрим три случая.

1. Если C находится между A и B, то AC + BC = AB. Отношение 3 : 2 означает, что AB состоит из 5 равных частей, поэтому AC = 10 · 3/5 = 6.
2. Если B находится между A и C, то AC = AB + BC. Пусть AC = 3x, BC = 2x. Тогда 3x = 10 + 2x, откуда x = 10 и AC = 30.
3. Если A находится между B и C, то BC = AB + AC. При AC = 3x и BC = 2x это невозможно, поскольку BC тогда меньше AC. Рассмотрим отношение с общей длиной через AB: BC = AC + 10 и AC : BC = 3 : 2. Тогда 2AC = 3(AC − 10), откуда AC = 30? Проверим: при A между B и C должно быть BC = AB + AC, значит 2x = 10 + 3x, что даёт x = −10, невозможное значение. Следовательно, такой порядок точек невозможен.

Однако возможен также порядок A—C—B, уже учтённый в первом случае, и порядок B—A—C, где AC = AB + BC — второй случай. Значение 15 не подходит: при AC = 15 отношение требует BC = 10, а тогда AB может быть 5 или 25, но не 10.

Ответ: 6 и 30.