Задание 2. Упростить выражение. a) (2/(2x+y) - 1/(2x-y) - 3y/(y^2-4x^2)) * (y^2/(8x^2) - 1/2) б) (m + n^(3/2) / m^(1/2)) * (m^(1/2) - n^(1/2)) / m^(1/2) + n^(1/2) / (m^(1/2) - n^(1/2)) Задание 3. Докажите, что выражение...

Задание 2. Упрощение выражений

а)

Сначала приведем к общему знаменателю выражения в первой скобке. Заметим, что \( y^2 - 4x^2 = (y - 2x)(y + 2x) \). Чтобы получить \( y^2 - 4x^2 \) как общий знаменатель, нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на \( 2x - y \) (чтобы получить \( -(y-2x) \)), а второй дроби — на \( y + 2x \).

\( \left( \frac{2(2x - y)}{(2x+y)(2x-y)} - \frac{1(y + 2x)}{(2x-y)(y+2x)} - \frac{3y}{y^2-4x^2} \right) \cdot \left( \frac{y^2}{8x^2} - \frac{1}{2} \right) \)

\( \left( \frac{4x - 2y - y - 2x}{4x^2 - y^2} - \frac{3y}{4x^2 - y^2} \right) \cdot \left( \frac{y^2}{8x^2} - \frac{4x^2}{8x^2} \right) \)

\( \left( \frac{2x - 3y - 3y}{4x^2 - y^2} \right) \cdot \left( \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} \right) \)

\( \left( \frac{2x - 6y}{4x^2 - y^2} \right) \cdot \left( \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} \right) \)

Заметим, что \( 4x^2 - y^2 = -(y^2 - 4x^2) \). Тогда:

\( \left( \frac{2x - 6y}{-(y^2 - 4x^2)} \right) \cdot \left( \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} \right) = \frac{2x - 6y}{-1} \cdot \frac{1}{8x^2} = \frac{6y - 2x}{8x^2} = \frac{3y - x}{4x^2} \)

б)

Упростим первое выражение в скобках:

\( m + \frac{n^{3/2}}{m^{1/2}} = \frac{m \cdot m^{1/2} + n^{3/2}}{m^{1/2}} = \frac{m^{3/2} + n^{3/2}}{m^{1/2}} \)

Теперь упростим второе выражение в скобках:

\( \frac{m^{1/2} - n^{1/2}}{m^{1/2}} + \frac{n^{1/2}}{m^{1/2} - n^{1/2}} = \frac{(m^{1/2} - n^{1/2})^2 + n^{1/2} \cdot m^{1/2}}{m^{1/2}(m^{1/2} - n^{1/2})} \)

\( = \frac{m - 2m^{1/2}n^{1/2} + n + m^{1/2}n^{1/2}}{m^{1/2}(m^{1/2} - n^{1/2})} = \frac{m - m^{1/2}n^{1/2} + n}{m^{1/2}(m^{1/2} - n^{1/2})} \)

Теперь перемножим полученные выражения:

\( \frac{m^{3/2} + n^{3/2}}{m^{1/2}} \cdot \frac{m - m^{1/2}n^{1/2} + n}{m^{1/2}(m^{1/2} - n^{1/2})} \)

Воспользуемся формулой суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \). В нашем случае \( a = m^{1/2} \) и \( b = n^{1/2} \).

\( m^{3/2} + n^{3/2} = (m^{1/2})^3 + (n^{1/2})^3 = (m^{1/2} + n^{1/2})((m^{1/2})^2 - m^{1/2}n^{1/2} + (n^{1/2})^2) = (m^{1/2} + n^{1/2})(m - m^{1/2}n^{1/2} + n) \)

Подставляем обратно:

\( \frac{(m^{1/2} + n^{1/2})(m - m^{1/2}n^{1/2} + n)}{m^{1/2}} \cdot \frac{m - m^{1/2}n^{1/2} + n}{m^{1/2}(m^{1/2} - n^{1/2})} \)

Упрощаем:

\( \frac{(m^{1/2} + n^{1/2})(m - m^{1/2}n^{1/2} + n)^2}{m(m^{1/2} - n^{1/2})} \)

Примечание: Возможно, в условии задания есть опечатка, так как при упрощении получается довольно громоздкое выражение. Если бы второе слагаемое во второй скобке было \( \frac{n^{1/2}}{m^{1/2}} \) вместо \( \frac{n^{1/2}}{m^{1/2} - n^{1/2}} \), то результат был бы проще.

Задание 3. Докажите, что выражение...

Условие задания 3 не полностью видно на изображении. Необходимо полное условие для доказательства.