Задание 2. Упростить выражение. a) 2 2x+y 1 2x-y 3y y²-4x² y² 8x² 1 2 б) m+ m² n2 1 2 m² 1 m² -n² 1 m² 1 n2 m²-n² Задание 3. Докажите, что выражение 3 √4

Решение:

а)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( y^2 - 4x^2 = (y - 2x)(y + 2x) \).
2. Первая дробь: \( \frac{2}{2x+y} \).
3. Вторая дробь: \( \frac{1}{2x-y} = \frac{-1}{y-2x} \).
4. Третья дробь: \( \frac{3y}{y^2-4x^2} = \frac{3y}{(y-2x)(y+2x)} \).
5. Общий знаменатель для первых трех дробей: \( (y-2x)(y+2x) \).
6. Выражение в первых скобках: \[ \frac{2(y-2x)}{(y-2x)(y+2x)} - \frac{-(y+2x)}{(y-2x)(y+2x)} - \frac{3y}{(y-2x)(y+2x)} \] \[ = \frac{2y - 4x + y + 2x - 3y}{(y-2x)(y+2x)} = \frac{-2x}{(y-2x)(y+2x)} \]
7. Выражение во вторых скобках: \( \frac{y^2}{8x^2} - \frac{1}{2} = \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} = \frac{(y-2x)(y+2x)}{8x^2} \).
8. Перемножим результаты: \[ \frac{-2x}{(y-2x)(y+2x)} \cdot \frac{(y-2x)(y+2x)}{8x^2} = \frac{-2x}{8x^2} = \frac{-1}{4x} \].

б)

1. Разложим знаменатель во второй дроби: \( m^2 - n^2 = (m-n)(m+n) \).
2. Первая скобка: \( m + \frac{n^2}{m^2} = \frac{m^3 + n^2}{m^2} \).
3. Вторая скобка: \( \frac{1}{m^2 - n^2} + \frac{1}{m^2} = \frac{1}{(m-n)(m+n)} + \frac{1}{m^2} \)
4. Приведем ко второй скобке к общему знаменателю \( m^2(m-n)(m+n) \): \[ \frac{m^2 + (m-n)(m+n)}{m^2(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 + m^2 - n^2}{m^2(m^2 - n^2)} = \frac{2m^2 - n^2}{m^2(m^2 - n^2)} \].
5. Перемножим результаты: \[ \frac{m^3 + n^2}{m^2} \cdot \frac{2m^2 - n^2}{m^2(m^2 - n^2)} = \frac{(m^3 + n^2)(2m^2 - n^2)}{m^4(m^2 - n^2)} \].

Ответ: а) -1/(4x); б) ((m³ + n²)(2m² - n²))/(m⁴(m² - n²)).