Задание 2. Упростить выражение. a) \( \frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-y} - \frac{3y}{y^2-4x^2} \) \( \cdot \) \( \frac{y^2}{8x^2} - \frac{1}{2} \)

Решение:

Сначала преобразуем выражение в первой скобке. Заметим, что \( y^2-4x^2 = (y-2x)(y+2x) \). Приведём дроби к общему знаменателю \( (2x+y)(2x-y) \):

\[ \frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-y} - \frac{3y}{(y-2x)(y+2x)} = \frac{2(2x-y)}{(2x+y)(2x-y)} - \frac{1(2x+y)}{(2x-y)(2x+y)} - \frac{-3y}{(2x-y)(2x+y)} \]

\[ = \frac{4x-2y - (2x+y) + 3y}{(2x+y)(2x-y)} = \frac{4x-2y-2x-y+3y}{4x^2-y^2} = \frac{2x}{4x^2-y^2} \]

Теперь преобразуем выражение во второй скобке:

\[ \frac{y^2}{8x^2} - \frac{1}{2} = \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} \]

Перемножим полученные выражения:

\[ \frac{2x}{4x^2-y^2} \cdot \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} = \frac{2x}{-(y^2-4x^2)} \cdot \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} = \frac{2x}{-1} \cdot \frac{1}{8x^2} = \frac{2x}{-8x^2} = -\frac{1}{4x} \]

Ответ: \( -\frac{1}{4x} \).