Задание 2. Упростите выражение для всех допустимых значений t: 4 cos t/(1 − sin t) + 4 cos t/(1 + sin t).

Складываем дроби, приводя их к общему знаменателю:

\[\frac{4\cos t}{1-\sin t}+\frac{4\cos t}{1+\sin t}=\frac{4\cos t(1+\sin t)+4\cos t(1-\sin t)}{(1-\sin t)(1+\sin t)}.\]

В числителе \(1+\sin t+1-\sin t=2\), а в знаменателе применяем разность квадратов и тождество \(1-\sin^2 t=\cos^2 t\):

\[\frac{8\cos t}{1-\sin^2 t}=\frac{8\cos t}{\cos^2 t}=\frac{8}{\cos t}.\]

Знаменатели исходных дробей не должны обращаться в ноль: \(\sin t\ne\pm1\), то есть \(t\ne\frac{\pi}{2}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(\frac{8}{\cos t}\), при \(t\ne\frac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).