Задание 2. В окружности с центром O вписан треугольник REF. Известны RE = 10, EF = 5, RF = 7. Найдите угол x между RE и RO.

Так как O — центр описанной окружности, радиусы OR и OE равны. Поэтому треугольник ROE равнобедренный, а его углы при R и E равны. Угол x при R равен половине центрального угла ROE.

Сначала найдём угол RFE треугольника REF по теореме косинусов:

\(\cos\angle RFE=\frac{RF^2+EF^2-RE^2}{2\cdot RF\cdot EF}=\frac{49+25-100}{70}=-\frac{13}{35}\).

Вписанный угол RFE и центральный угол ROE опираются на одну и ту же хорду RE, поэтому \(\angle ROE=2\angle RFE\). Следовательно, \(x=\frac{180^\circ-\angle ROE}{2}=90^\circ-\angle RFE\).

Так как \(\cos x=\sin\angle RFE\), получаем \(\cos x=\sqrt{1-\left(\frac{13}{35}\right)^2}=\frac{12\sqrt6}{35}\).

\(x=\arccos\left(\frac{12\sqrt6}{35}\right)\approx33.1^\circ\).

Ответ: \(x\approx33.1^\circ\).