Задание №2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине C величина внешнего угла при вершине B составляет 150°. Проведена биссектриса AL длиной 28. Найдите длину катета BC.

Внешний и внутренний углы при вершине B — смежные, поэтому внутренний угол равен \(180°-150°=30°\). Тогда \(\angle A=60°\).

Обозначим \(AC=x\). В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60° и 90° гипотенуза \(AB=2x\), а катет \(BC=x\sqrt{3}\).

По теореме о биссектрисе \(CL:LB=AC:AB=1:2\). Значит, \(CL=\frac{x\sqrt{3}}{3}\) и \(LB=\frac{2x\sqrt{3}}{3}\).

По теореме Стюарта для биссектрисы:

\(AB^2\cdot CL+AC^2\cdot LB=BC\bigl(AL^2+CL\cdot LB\bigr)\).

Подставим длины: \(4x^2\cdot\frac{x\sqrt{3}}{3}+x^2\cdot\frac{2x\sqrt{3}}{3}=x\sqrt{3}\left(28^2+\frac{2x^2}{9}\right)\).

После сокращения получаем \(2x^2=9\cdot28^2\), откуда \(x=42\). Поэтому \(BC=x\sqrt{3}=42\sqrt{3}\).

Ответ: \(BC=42\sqrt{3}\).