ЗАДАНИЕ №2. В треугольнике \(ABC\) медиана \(BM\) равна половине стороны \(AC\) и \(\angle BAC=43^\circ\). Найдите величину угла \(ACB\).

Пусть \(AC=a\), \(BC=b\), \(AB=c\). По условию медиана к стороне \(AC\) равна \(a/2\). По теореме Аполлония:

\(b^2+c^2=2BM^2+\dfrac{a^2}{2}=a^2\).

По теореме косинусов для угла \(A=\angle BAC\): \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos A\). Подставим в равенство \(b^2+c^2=a^2\):

\(a^2+c^2-2ac\cos A+c^2=a^2\), значит \(c= a\cos A\), поскольку \(c>0\).

Ещё раз применим теорему косинусов: \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos A=a^2-c^2\). Следовательно, \(b^2+c^2=a^2\), то есть угол напротив стороны \(a=AC\), угол \(B\), прямой. Тогда

\(\angle ACB=180^\circ-90^\circ-43^\circ=47^\circ\).

Ответ: \(47^\circ\).