Задание 2. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что 2BM = AB и ∠ABM = 50°. Найди угол ABC. Ответ дай в градусах.

Так как BM — медиана, M — середина AC. Обозначим BM = x. Тогда AB = 2x, а AM = MC.

Рассмотрим треугольник ABM. По теореме косинусов:

\(AM^2=(2x)^2+x^2-2\cdot2x\cdot x\cos 50^\circ= x^2(5-4\cos 50^\circ).\)

Поскольку A, M, C лежат на одной прямой и AM = MC, можно расположить BM горизонтально: тогда направление BA образует с BM угол 50°, а вектор MC равен вектору AM. Из координат следует, что луч BC образует с BM угол \(65^\circ\) в противоположную сторону, так как \(\tan 65^\circ=\frac{\sin 50^\circ}{1-\cos 50^\circ}\).

Следовательно, \(\angle ABC=50^\circ+65^\circ=115^\circ\).

Ответ: 115°.