Задание 2. В треугольнике ABC точка D — середина AC (AD = DC). ∠ABD = 45°, ∠DBC = 30°, BC = 14. Найти x = AB и y = BD.

Обозначим \(\angle BDC=\alpha\). Тогда \(\angle BDA=180^\circ-\alpha\), поскольку A, D и C лежат на одной прямой.

В треугольнике ABD сумма углов даёт \(\angle BAD=\alpha-45^\circ\). По теореме синусов:

\(\dfrac{AB}{\sin(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{AD}{\sin45^\circ}\), поэтому \(AB=AD\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\sin45^\circ}\).

В треугольнике BDC теорема синусов даёт \(\dfrac{DC}{\sin30^\circ}=\dfrac{BC}{\sin\alpha}\), откуда \(DC=14\cdot\dfrac{\sin30^\circ}{\sin\alpha}=\dfrac{7}{\sin\alpha}\). Так как \(AD=DC\), получаем \(AB=\dfrac{7}{\sin\alpha}\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\sin45^\circ}=7\sqrt2\).

Для BD данные задают только зависимость \(BD=14\cdot\dfrac{\sin(150^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}\); угол \(\alpha\) не определён, поэтому единственное значение y найти нельзя.

Ответ: \(x=7\sqrt2\); значение y по данным условия однозначно определить нельзя.