Задание №2. В треугольнике ABC величины углов относятся как 1 : 3 : 4. Длина медианы, проведённой из самого большого угла (на рисунке угол B), равна 6. Найдите длину стороны AC.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Всего частей: \(1+3+4=8\).

Одна часть равна:

\[180^\circ:8=22.5^\circ.\]

Так как угол \(B\) — самый большой, ему соответствуют 4 части:

\[\angle B=4\cdot22.5^\circ=90^\circ.\]

Следовательно, треугольник \(ABC\) прямоугольный, а сторона \(AC\), лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой. Медиана \(BM\) проведена к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы:

\[BM=\frac{AC}{2}.\]

Подставим \(BM=6\):

\[6=\frac{AC}{2},\qquad AC=12.\]

Ответ: \(AC=12\).