Задание 2. Вершина горы из точки А видна под углом 38°42′. Если ты подойдёшь к горе на 200 м, вершина станет видна под углом 42°. Определи высоту горы.

Дано: угол возвышения сначала равен 38°42′, после приближения на 200 м — 42°. Предполагаем, что местность горизонтальная и углы измерены от горизонтали.

Обозначим через x расстояние от первоначальной точки до основания горы, а через h — высоту горы. Тогда после приближения расстояние станет x − 200.

По определению тангенса:

\(\tan 38^\circ42' = \frac{h}{x}\), поэтому \(x = \frac{h}{\tan 38^\circ42'}\).

После приближения:

\(\tan 42^\circ = \frac{h}{x-200}\), поэтому \(x-200 = \frac{h}{\tan 42^\circ}\).

Вычтем второе равенство из первого:

\(200 = h\left(\frac{1}{\tan 38^\circ42'}-\frac{1}{\tan 42^\circ}\right)\).

Отсюда \(h = \frac{200\tan 38^\circ42'\tan 42^\circ}{\tan 42^\circ-\tan 38^\circ42'}\).

Подставим значения: \(h \approx \frac{200\cdot 0.8012\cdot 0.9004}{0.9004-0.8012} \approx 1454\) м.

Ответ: высота горы примерно 1454 м.