Задание №2. Вершину A треугольника ABC соединили отрезками с точками на противоположной стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок AQ — биссектриса треугольника ABC. 2) Отрезок AQ — биссектриса треугольника APS. 3) Отрезок AS — биссектриса треугольника APC. 4) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABQ. 5) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABC.

Обозначим каждый из четырёх равных углов через \(x\). Лучи из точки A расположены в порядке AB, AP, AQ, AS, AC.

1. В треугольнике ABC угол BAC равен \(4x\). Луч AQ делит его на два угла по \(2x\), поэтому это биссектриса.
2. В треугольнике APS угол PAS равен \(2x\). Луч AQ делит его пополам, поэтому это биссектриса.
3. В треугольнике APC луч AS делит угол PAC, равный \(3x\), на углы \(2x\) и \(x\). Это не биссектриса.
4. В треугольнике ABQ угол BAQ равен \(2x\). Луч AP делит его пополам, поэтому это биссектриса.
5. В треугольнике ABC луч AP делит угол BAC на углы \(x\) и \(3x\). Это не биссектриса.

Ответ: верны утверждения 1, 2 и 4.