Задание №2. Вершину B треугольника ABC соединили отрезками с точками на противолежащей стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок BQ — биссектриса треугольника BMC. 2) Отрезок BM — биссектриса треугольника ABC. 3) Отрезок BN — биссектриса треугольника ABC. 4) Отрезок BN — биссектриса треугольника BMQ.

Обозначим каждый из четырёх равных углов при вершине B как α. Тогда ∠ABM = ∠MBN = ∠NBQ = ∠QBC = α.

1. В треугольнике BMC угол MBC состоит из трёх равных углов, а луч BQ делит его на два угла: 2α и α. BQ не является биссектрисой.
2. BM делит угол ABC на α и 3α, поэтому не является биссектрисой.
3. BN делит угол ABC на 2α и 2α, поэтому является биссектрисой.
4. В треугольнике BMQ луч BN делит угол MBQ на равные углы MBN и NBQ. Следовательно, BN — биссектриса.

Ответ: верны утверждения 3 и 4.