Задание №2. Вычислить стоимость конструкции, изготовленной в форме усеченной пирамиды, в основании которой лежат правильные треугольники с длинами сторон: нижнее основание 50 см, верхнее основание 30 см и высотой 40 см; если 1 м² стали стоит 2500 рублей.

Решение:

1. Находим площадь нижнего основания (правильный треугольник):

• Сторона нижнего основания (a₁) = 50 см.
• Площадь нижнего основания: S_нижн = \( \frac{a_{1}^2 \sqrt{3}}{4} \) = \( \frac{50^2 \sqrt{3}}{4} \) = \( \frac{2500 \sqrt{3}}{4} \) = 625\sqrt{3} см².

2. Находим площадь верхнего основания (правильный треугольник):

• Сторона верхнего основания (a₂) = 30 см.
• Площадь верхнего основания: S_верхн = \( \frac{a_{2}^2 \sqrt{3}}{4} \) = \( \frac{30^2 \sqrt{3}}{4} \) = \( \frac{900 \sqrt{3}}{4} \) = 225\sqrt{3} см².

3. Находим площадь боковой поверхности усеченной пирамиды:

• Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно знать апофему (l). Для этого построим вспомогательный прямоугольный треугольник.
• Разница сторон оснований: 50 см - 30 см = 20 см.
• Проекция этой разницы на основание: 20 см / 2 = 10 см.
• Высота усеченной пирамиды (h) = 40 см.
• Апофема (l) находится по теореме Пифагора: l = \( \sqrt{h^2 + ( \frac{a_{1}-a_{2}}{2} )^2} \) = \( \sqrt{40^2 + 10^2} \) = \( \sqrt{1600 + 100} \) = \( \sqrt{1700} \) = 10\sqrt{17} см.
• Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды: S_бок = \( \frac{1}{2} (P_{нижн} + P_{верхн}) \sdot; l \)
• Периметр нижнего основания: P_нижн = 3 ⋅ 50 = 150 см.
• Периметр верхнего основания: P_верхн = 3 ⋅ 30 = 90 см.
• S_бок = \( \frac{1}{2} (150 + 90) \sdot; 10\sqrt{17} \) = \( \frac{1}{2} (240) \sdot; 10\sqrt{17} \) = 120 ⋅ 10\sqrt{17} = 1200\sqrt{17} см².

4. Находим площадь полной поверхности:

• S_полн = S_нижн + S_верхн + S_бок
• S_полн = 625\sqrt{3} + 225\sqrt{3} + 1200\sqrt{17} = 850\sqrt{3} + 1200\sqrt{17} см².

5. Переводим площадь в м²:

• S_полн = \( \frac{850\sqrt{3} + 1200\sqrt{17}}{10000} \) м²
• S_полн \approx \( \frac{850 \sdot; 1.732 + 1200 \sdot; 4.123}{10000} \) \approx \( \frac{1472.2 + 4947.6}{10000} \) \approx \( \frac{6419.8}{10000} \) \approx 0.642 м².

6. Вычисляем стоимость:

• Стоимость 1 м² = 2500 рублей.
• Общая стоимость = Площадь ⋅ Стоимость за м²
• Стоимость = 0.642 ⋅ 2500 = 1605 рублей.

Ответ: Стоимость конструкции составляет 1605 рублей.