Задание 2. Выполнить письменно задания в рабочей тетради с рисунками и полным решением. Задачи на построение. 1. Построй равнобокую трапецию по двум основаниям (6 см и 10 см) и боковой стороне (4 см). 2. Построй прямоугольную трапецию, у которой основания равны 5 см и 8 см, а меньшая боковая сторона — 3 см. 3. Построй равнобокую трапецию, у которой одно основание 7 см, боковая сторона 5 см и угол при большем основании 60°.

Обозначим большее основание AB = 10 см, меньшее CD = 6 см, боковые стороны AD = BC = 4 см. В равнобокой трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно нижнего, поэтому горизонтальный сдвиг с каждой стороны равен (10 − 6) : 2 = 2 см.

Высота равна h = √(4² − 2²) = √12 = 2√3 см ≈ 3,46 см.

1. Проведи AB длиной 10 см.
2. Отметь на AB точки H и K так, чтобы AH = KB = 2 см. Тогда HK = 6 см.
3. Восстанови перпендикуляры к AB в точках H и K.
4. С центром A и радиусом 4 см проведи дугу, пересекающую перпендикуляр в H выше AB; точку пересечения назови D.
5. С центром B и радиусом 4 см проведи дугу, пересекающую перпендикуляр в K выше AB; точку пересечения назови C.
6. Соедини D с C. Получена равнобокая трапеция ABCD: CD = 6 см, AD = BC = 4 см.

Построение возможно, поскольку 4 > 2.

Обозначим большее основание AB = 8 см, меньшее CD = 5 см, а меньшую боковую сторону AD = 3 см, перпендикулярную основаниям. Разность оснований равна 8 − 5 = 3 см; она задаёт длину наклонной боковой стороны.

1. Проведи AB = 8 см.
2. В точке A построй перпендикуляр к AB и отложи на нём AD = 3 см.
3. Через D проведи прямую, параллельную AB. На ней в направлении к B отложи DC = 5 см.
4. Соедини C с B.

Получена прямоугольная трапеция ABCD: AB ∥ CD, AD ⟂ AB, AD = 3 см, CD = 5 см, AB = 8 см. Наклонная боковая сторона BC = √(3² + 3²) = 3√2 см, поэтому AD действительно является меньшей боковой стороной.

В равнобокой трапеции углы при большем основании равны. Если каждый равен 60°, то горизонтальная проекция каждой боковой стороны длиной 5 см равна 5 cos 60° = 2,5 см, а высота — 5 sin 60° = 5√3/2 см. Поэтому разность оснований равна 5 см, а большее основание длиннее меньшего.

В условии не сказано, какое именно из оснований равно 7 см, поэтому возможны два построения:

1. Если 7 см — большее основание: AB = 7 см, CD = 2 см.
2. Если 7 см — меньшее основание: CD = 7 см, AB = 12 см.

Для каждого варианта построй следующим образом:

1. Проведи большее основание AB заданной для этого варианта длины.
2. На AB отметь точки H и K с AH = KB = 2,5 см. Тогда HK — меньшее основание: 2 см в первом варианте и 7 см во втором.
3. В точках A и B построй лучи, направленные внутрь трапеции и образующие с AB углы 60°.
4. На каждом луче отложи по 5 см: полученные точки назови D и C соответственно.
5. Соедини C и D. Поскольку боковые стороны равны, а углы при AB равны, CD параллельно AB; получена равнобокая трапеция.