Задание 2. Является ли число а) 2^6 + 14^4 + 7^8; б) 4^9 + 6^10 + 3^20 простым? Ответ обоснуйте.

а) Число не простое: каждое слагаемое делится на 3, поскольку \(2^6\equiv1\pmod 3\), \(14^4\equiv1\pmod 3\), \(7^8\equiv1\pmod 3\), а сумма трёх слагаемых сравнима с 0 по модулю 3. Сумма больше 3, значит, она составная.

б) В изображении выражение читается как \(4^9+6^{10}+3^{20}\). Оно также составное: по модулю 13 имеем \(4^3\equiv-1\), поэтому \(4^9\equiv-1\); \(6^2\equiv-3\), откуда \(6^{10}\equiv(-3)^5\equiv-9\); а \(3^3\equiv1\), поэтому \(3^{20}\equiv3^2\equiv9\). Сумма сравнима с \(-1-9+9=-1\) по модулю 13 — это не доказывает делимость на 13. Однако все три слагаемых являются квадратами: \(4^9=(2^9)^2\), \(6^{10}=(6^5)^2\), \(3^{20}=(3^{10})^2\); этого само по себе недостаточно для определения простоты. Для проверки можно использовать делимость на 7: сумма сравнима с \(1+1+2=4\), тоже не даёт делимости. Нужна точная факторизация или иной сертификат составности; без такого подтверждения нельзя обоснованно утверждать, что число составное.

Второе число точно вычисляется как \(4^9+6^{10}+3^{20}=262144+60466176+3486784401=3547512721\). Оно делится на 11: чередующаяся сумма цифр \((3+4+5+2+2)-(5+7+1+7+1)=16-21=-5\), так что на 11 не делится. По видимым вычислениям простота не устанавливается.

Ответ: а) составное. Для б) приведённых данных недостаточно для надёжного вывода о простоте; требуется проверка делителей или факторизация.