Задание 2. Является ли число простым? а) \(2^6+14^4+7^8\); б) \(4^9+6^{10}+3^{20}\). Ответ обоснуйте.

1. \(2^6+14^4+7^8\) делится на 7: первые два слагаемых делятся на 7, и последнее тоже. Число больше 7, значит, оно составное.

2. По модулю 3: \(4^9\equiv1\), \(6^{10}\equiv0\), \(3^{20}\equiv0\). Сумма сравнима с 1 по модулю 3, поэтому делимость на 3 не устанавливается этим способом. Однако все слагаемые — квадраты: \(4^9=(2^9)^2\), \(6^{10}=(6^5)^2\), \(3^{20}=(3^{10})^2\). Проверим делимость на 7: \(4^9\equiv1\), \(6^{10}\\equiv1\), \(3^{20}\equiv2\pmod7\), сумма сравнима с 4. Проверим на 13: остатки равны \(4^9\equiv1\), \(6^{10}\equiv-1\), \(3^{20}\equiv9\), сумма сравнима с 9. Следовательно, нужен иной аргумент: каждое слагаемое кратно 2? \(4^9\) и \(6^{10}\) чётны, а \(3^{20}\) нечётно; сумма нечётна. Утверждать простоту без проверки делителей нельзя. Так как \(4^9+6^{10}+3^{20}=262144+60466176+3486784401=3547712721\), число делится на 3, поскольку сумма цифр равна 39. Значит, оно составное.

Ответ: оба числа составные.