Задание 2. Задано значение x = 0,00012 и алгебраическое выражение 200 ⋅ (2/7x) ⋅ (2/7x)² ⋅ x⁰ ---------------------------------- 0,4 x⁻⁵ ⋅ (2/x)⁻³ ⋅ (234/13)⁰

Решение:

Задано: \( x = 0,00012 \)

Алгебраическое выражение:

\[ \frac{200 \cdot \left( \frac{2}{7x} \right) \cdot \left( \frac{2}{7x} \right)^2 \cdot x^0}{0,4 \cdot x^{-5} \cdot \left( \frac{2}{x} \right)^{-3} \cdot \left( \frac{234}{13} \right)^0} \]

1. Упростим выражение, используя свойства степеней:

Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1: \( x^0 = 1 \) и \( \left( \frac{234}{13} \right)^0 = 1 \).

Степени с одинаковым основанием умножаются путем сложения показателей: \( \left( \frac{2}{7x} \right) \cdot \left( \frac{2}{7x} \right)^2 = \left( \frac{2}{7x} \right)^{1+2} = \left( \frac{2}{7x} \right)^3 \).
Следовательно, числитель равен: \( 200 \cdot \left( \frac{2}{7x} \right)^3 \).

В знаменателе: \( \left( \frac{2}{x} \right)^{-3} = \left( \frac{x}{2} \right)^3 \).

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{200 \cdot \left( \frac{2}{7x} \right)^3}{0,4 \cdot x^{-5} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^3} \]

Раскроем кубы:

\[ \frac{200 \cdot \frac{2^3}{(7x)^3}}{0,4 \cdot x^{-5} \cdot \frac{x^3}{2^3}} = \frac{200 \cdot \frac{8}{343x^3}}{0,4 \cdot x^{-5} \cdot \frac{x^3}{8}} \]

Перемножим множители в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\frac{1600}{343x^3}}{0,4 \cdot \frac{x^{-5+3}}{8}} = \frac{\frac{1600}{343x^3}}{0,4 \cdot \frac{x^{-2}}{8}} = \frac{\frac{1600}{343x^3}}{\frac{0,4}{8} \cdot x^{-2}} \]

\[ \frac{1600}{343x^3} \div \left( \frac{0,4}{8} \cdot x^{-2} \right) = \frac{1600}{343x^3} \cdot \frac{1}{\frac{0,4}{8} \cdot x^{-2}} = \frac{1600}{343x^3} \cdot \frac{8}{0,4 \cdot x^{-2}} \]

\[ \frac{1600 \cdot 8}{343x^3 \cdot 0,4 \cdot x^{-2}} = \frac{12800}{137,2 \cdot x^{3-2}} = \frac{12800}{137,2 \cdot x} \]

Упростим дробь \( \frac{12800}{137,2} \):

\[ \frac{12800}{137,2} = \frac{128000}{1372} \]

Разделим числитель и знаменатель на 4:

\[ \frac{32000}{343} \]

Итоговое упрощенное выражение: \( \frac{32000}{343x} \).

2. Подставим значение x = 0,00012:

\[ \frac{32000}{343 \cdot 0,00012} \]

Вычислим знаменатель: \( 343 \cdot 0,00012 = 0,04116 \).

Теперь вычислим значение всего выражения:

\[ \frac{32000}{0,04116} \approx 777453.83 \]

Примечание: В задании предполагалось, что \( x \) в числителе и знаменателе будет одинаковым, но в исходном выражении есть \( \frac{2}{7x} \) и \( \frac{2}{x} \). Если это опечатка, и должно быть \( \frac{2}{x} \) везде, то упрощение будет другим.

Предполагая, что в числителе должно быть \( \frac{2}{x} \) вместо \( \frac{2}{7x} \):

Числитель: \( 200 \cdot \left( \frac{2}{x} \right)^3 = 200 \cdot \frac{8}{x^3} = \frac{1600}{x^3} \).

Знаменатель: \( 0,4 \cdot x^{-5} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^3 = 0,4 \cdot x^{-5} \cdot \frac{x^3}{8} = \frac{0,4}{8} \cdot x^{-2} = 0,05 \cdot x^{-2} = \frac{0,05}{x^2} \).

Выражение: \( \frac{\frac{1600}{x^3}}{\frac{0,05}{x^2}} = \frac{1600}{x^3} \cdot \frac{x^2}{0,05} = \frac{1600}{0,05 \cdot x} = \frac{32000}{x} \).

Подставим \( x = 0,00012 \):

\[ \frac{32000}{0,00012} = \frac{3200000000}{12} = \frac{800000000}{3} \approx 266666666.67 \]

Исходя из предоставленного вида выражения, верным является первый вариант упрощения.

Ответ: 777453.83