Задание 2. Заполните пропуск одночленом так, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата некоторого двучлена с целыми коэффициентами. -60xy + 9x² + 84y²+ __

Решение:

Нам нужно дополнить выражение \( -60xy + 9x^2 + 84y^2 \) до полного квадрата некоторого двучлена. Двучлен имеет вид \( (ax + by) \) или \( (ax - by) \). Его квадрат равен \( (ax ± by)^2 = (ax)^2 ± 2(ax)(by) + (by)^2 \).

В нашем выражении уже есть три члена: \( 9x^2 \) (что соответствует \( (3x)^2 \)), \( -60xy \) (что соответствует \( -2(3x)(10y) \)), и \( 84y^2 \).

Сравним наши члены с формулой квадрата двучлена:

• \( (3x)^2 = 9x^2 \) — это соответствует члену \( 9x^2 \) в исходном выражении.
• \( -2(3x)(10y) = -60xy \) — это соответствует члену \( -60xy \) в исходном выражении.
• Тогда, чтобы выражение стало полным квадратом, третий член должен быть \( (10y)^2 = 100y^2 \).

Однако, в исходном выражении у нас есть \( 84y^2 \). Это означает, что исходное выражение \( -60xy + 9x^2 + 84y^2 \) само по себе не является квадратом двучлена. Если бы нам нужно было вставить член, чтобы получилось \( (3x - 10y)^2 \), то это было бы \( 9x^2 - 60xy + 100y^2 \), и нам нужно было бы вставить \( 100y^2 \).

Но в задании есть \( 84y^2 \) и нас просят заполнить пропуск. Это означает, что мы должны найти такой одночлен, чтобы всё выражение стало квадратом двучлена. Мы можем переписать исходное выражение так:

\( 9x^2 - 60xy + 84y^2 + \text{пропуск} \)

Чтобы получить квадрат двучлена, мы должны иметь форму \( (ax ± by)^2 = a^2x^2 ± 2abxy + b^2y^2 \).

Мы знаем, что \( a^2 = 9 \), значит \( a = 3 \).

Мы знаем, что \( 2ab = -60 \), значит \( 2 &Times; 3 &Times; b = -60 \), \( 6b = -60 \), \( b = -10 \).

Тогда \( b^2y^2 = (-10)^2y^2 = 100y^2 \).

Следовательно, полный квадрат будет \( (3x - 10y)^2 = 9x^2 - 60xy + 100y^2 \).

В нашем выражении уже есть \( 9x^2 - 60xy + 84y^2 \). Чтобы получить \( 9x^2 - 60xy + 100y^2 \), нам нужно добавить \( 100y^2 - 84y^2 = 16y^2 \).

Значит, пропущенный одночлен — это \( 16y^2 \).

Ответ: \( 16y^2 \)