Задание 2. Зная, что \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), выразите указанный вектор через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). 1) ABC — треугольник; \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b\). 2) ABC — треугольник, K — середина BC; выразить \(\overrightarrow{KA}\). 3) ABC — треугольник, O — середина BC; выразить \(\overrightarrow{AO}\). 4) ABCD — параллелограмм; выразить \(\overrightarrow{AC}\). 5) ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей; выразить \(\overrightarrow{AO}\). 6) ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей; выразить \(\overrightarrow{DO}\).

Используем правило сложения: вектор пути равен сумме векторов его последовательных участков. В треугольнике и параллелограмме учитываем, что середина делит отрезок пополам.

1) \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b\).

2) Так как K — середина BC, \(\overrightarrow{BK}=\frac12\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), а значит \(\overrightarrow{KA}=-\vec a-\frac12\vec b\).

3) O — середина BC, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12\vec b\). Следовательно, \(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\vec a+\frac12\vec b\).

4) В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b\).

5) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поскольку \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), имеем \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\).

6) Для перехода от D к O: \(\overrightarrow{DO}=\frac12\overrightarrow{DB}\). При этом \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\vec b+\vec a\). Значит, \(\overrightarrow{DO}=\frac12\vec a-\frac12\vec b\).

Ответ: 1), 4) \(\vec a+\vec b\); 2) \(-\vec a-\frac12\vec b\); 3) \(\vec a+\frac12\vec b\); 5) \(\frac12\vec a+\frac12\vec b\); 6) \(\frac12\vec a-\frac12\vec b\).