Задание 20. Решите уравнение x³ + 3x² = 16x + 48

Решение:

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

\[ x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0 \]

Теперь сгруппируем члены уравнения:

\[ (x^3 + 3x^2) - (16x + 48) = 0 \]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ x^2(x + 3) - 16(x + 3) = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \( (x + 3) \) за скобки:

\[ (x + 3)(x^2 - 16) = 0 \]

Разложим выражение \( x^2 - 16 \) как разность квадратов \( (x - 4)(x + 4) \):

\[ (x + 3)(x - 4)(x + 4) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \( x + 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_1 = -3 \)
2. \( x - 4 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_2 = 4 \)
3. \( x + 4 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_3 = -4 \)

Ответ: x = -3, x = 4, x = -4.