Задание 21 (№10102). Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

Рассмотрим, после какого хода Пети Ваня может гарантировать победу следующим ходом. Если после ответа Вани оставить Петю с 64 камнями, то Петя получит либо 65, либо 128 камней, и Ваня выиграет следующим ходом. Это единственное такое количество: при меньшем Петя может добавить один камень и оставить менее 65, а при большем Петя может удвоить кучу и выиграть сам.

Значит, после первого хода Вани ему нужно либо сразу выиграть, либо оставить 64 камня.

1. Если Петя первым ходом добавляет камень, становится \(S+1\). Чтобы Ваня мог из этой кучи сделать 64, необходимо \(S+1=63\) (добавить камень) или \(S+1=32\) (удвоить). Чтобы сразу выиграть, нужно \(S+1\geq65\).
2. Если Петя первым ходом удваивает кучу, становится \(2S\). Ваня может сразу выиграть при \(2S\geq65\); оставить 64 камня можно только при \(2S=32\), удвоив кучу.

При \(S=62\) после добавления камня получается 63: Ваня добавляет камень и оставляет 64. После удвоения получается 124, из этой кучи Ваня сразу выигрывает удвоением.

Меньшие значения не подходят. При \(S<62\) исход \(S+1\) меньше 65, поэтому Ваня не может выиграть сразу. Оставить 64 камня из него можно только при \(S=31\) или \(S=62\). При \(S=31\) второй возможный исход Пети равен 62: Ваня не может из него ни выиграть, ни оставить 64 камня. При остальных \(S<62\) первый исход тоже не позволяет Ване гарантировать победу за два своих хода.

Наконец, при \(S=62\) Ваня не может гарантировать победу своим первым ходом: если Петя добавит камень, получится 63, и Ваня за один ход не достигнет 129 ни добавлением, ни удвоением.

Ответ: 62.