Задание 21. Зная, что $\overrightarrow{AB}=\vec a$, $\overrightarrow{BC}=\vec b$, выразите указанный вектор через векторы $\vec a$ и $\vec b$: 1) $ABC$ — треугольник, найти $\overrightarrow{AC}$; 2) $ABC$ — треугольник, точка $K$ — середина $BC$, найти $\overrightarrow{KA}$; 3) $ABC$ — треугольник, точка $O$ — середина $BC$, найти $\overrightarrow{AO}$; 4) $ABCD$ — параллелограмм, найти $\overrightarrow{AC}$; 5) $ABCD$ — параллелограмм, найти $\overrightarrow{AO}$; 6) $ABCD$ — параллелограмм, найти $\overrightarrow{DO}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 21. Зная, что $\overrightarrow{AB}=\vec a$, $\overrightarrow{BC}=\vec b$, выразите указанный вектор через векторы…$ Фото задания

Задание 21. Зная, что $\overrightarrow{AB}=\vec a$, $\overrightarrow{BC}=\vec b$, выразите указанный вектор через векторы $\vec a$ и $\vec b$: 1) $ABC$ — треугольник, найти $\overrightarrow{AC}$; 2) $ABC$ — треугольник, точка $K$ — середина $BC$, найти $\overrightarrow{KA}$; 3) $ABC$ — треугольник, точка $O$ — середина $BC$, найти $\overrightarrow{AO}$; 4) $ABCD$ — параллелограмм, найти $\overrightarrow{AC}$; 5) $ABCD$ — параллелограмм, найти $\overrightarrow{AO}$; 6) $ABCD$ — параллелограмм, найти $\overrightarrow{DO}$.

Accepted Answer

По правилу треугольника:
\[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b.\]
Так как $K$ — середина $BC$, то $\overrightarrow{BK}=\frac12\vec b$. Поэтому
\[\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec a+\frac12\vec b,\]
а значит,
\[\overrightarrow{KA}=-\overrightarrow{AK}=-\vec a-\frac12\vec b.\]
Так как $O$ — середина $BC$, то $\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\vec a$ при обозначении стороны $BC$ на рисунке. Следовательно,
\[\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\vec b+\frac12\vec a.\]
Диагональ параллелограмма равна сумме двух его сторон, выходящих из одной вершины:
\[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b.\]
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому
\[\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec a+\vec b).\]
$O$ — середина диагонали $DB$, поэтому
\[\overrightarrow{DO}=\frac12\overrightarrow{DB}.\]
При этом $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\vec b+\vec a$. Следовательно,
\[\overrightarrow{DO}=\frac12(\vec a-\vec b).\]

Ответ: 1) $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$; 2) $\overrightarrow{KA}=-\vec a-\frac12\vec b$; 3) $\overrightarrow{AO}=\frac12\vec a+\vec b$; 4) $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$; 5) $\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)$; 6) $\overrightarrow{DO}=\frac12(\vec a-\vec b)$.