Задание 22. Постройте график функции: y = { 4x-5, x<1; -2.5x+5, 1≤x≤4; x-9, x>4 }. Определите, при каких значениях т прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Дано:

• Функция:

\[ y = \begin{cases} 4x-5, & x < 1 \\ -2.5x+5, & 1 ≤ x ≤ 4 \\ x-9, & x > 4 \end{cases} \]

• Прямая: y = m

Найти:

• Значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Сначала построим график данной кусочно-заданной функции.

1. Первая часть: y = 4x - 5 при x < 1

• Это прямая. Найдем две точки для построения.
• Если x = 0, то y = 4(0) - 5 = -5. Точка (0, -5).
• Приблизимся к x = 1. Если x = 0.9, то y = 4(0.9) - 5 = 3.6 - 5 = -1.4. Точка (0.9, -1.4).
• Когда x стремится к 1 слева, y стремится к 4(1) - 5 = -1. Точка с незакрашенным кружком будет (1, -1).

2. Вторая часть: y = -2.5x + 5 при 1 ≤ x ≤ 4

• Это отрезок прямой. Найдем значения на концах отрезка.
• Если x = 1, то y = -2.5(1) + 5 = -2.5 + 5 = 2.5. Точка с закрашенным кружком (1, 2.5).
• Если x = 4, то y = -2.5(4) + 5 = -10 + 5 = -5. Точка с закрашенным кружком (4, -5).

3. Третья часть: y = x - 9 при x > 4

• Это прямая. Найдем две точки для построения.
• Если x = 5, то y = 5 - 9 = -4. Точка (5, -4).
• Приблизимся к x = 4. Если x = 4.1, то y = 4.1 - 9 = -4.9. Точка (4.1, -4.9).
• Когда x стремится к 4 справа, y стремится к 4 - 9 = -5. Точка с незакрашенным кружком будет (4, -5).

Теперь построим график:

1. Нарисуй координатную плоскость.
2. Отметь точки для каждой части функции и соедини их согласно условию.
3. Первая часть: луч, исходящий из точки (1, -1) (не включая ее) и идущий влево-вниз.
4. Вторая часть: отрезок, соединяющий точки (1, 2.5) и (4, -5) (включая обе точки).
5. Третья часть: луч, исходящий из точки (4, -5) (не включая ее) и идущий вправо-вниз.

Теперь проанализируем, при каких значениях m прямая y = m (горизонтальная прямая) будет пересекать график ровно в двух точках.

Рассмотрим значения y на «переломах» графика:

• В точке x = 1:
• Левая часть функции приближается к y = -1.
• Правая часть функции начинается с y = 2.5.
• В точке x = 4:
• Левая часть функции заканчивается в y = -5.
• Правая часть функции начинается с y = -5.

Прямая y = m будет иметь ровно две точки пересечения, когда она проходит:

1. Между значением, к которому стремится первая часть при x → 1⁻, и значением, где начинается вторая часть при x = 1.
• -1 < m < 2.5
2. Ниже значения y = -5, где соединяются вторая и третья части, но выше, чем самая нижняя точка графика (если бы она была).
• m < -5

Давайте внимательно посмотрим на график. Линия y = m будет иметь две точки пересечения:

• Когда m находится между -1 (не включая) и 2.5 (включая, так как точка (1, 2.5) принадлежит графику).
• Когда m находится строго ниже -5.

Итак, промежутки для m:

• \[ -1 < m ≤ 2.5 \]
• \[ m < -5 \]

Ответ: m < -5 или -1 < m ≤ 2.5